LUAS AREA DIBAWAH KURVA (AREA UNDER CURVE)

Daerah dibawah kurva

Bayangkan ada sebuah jendela yang bagian atasnya berbentuk lengkungan, tepatnya parabola. Berapa banyak kaca diperlukan untuk menutup jendela ini?

---

Kita harus tahu luas daerah dibawah lengkungan tersebut.

Sejarahnya, sebelum integral ditemukan, orang hanya bisa menjawab secara tidak pasti, yaitu dengan membagi ruangan-ruangan di bawahnya menjadi segiempat yang kecil-kecil.

Tinggi tiap persegi panjang ini diperoleh dengan menghitung nilai fungsi. Lebarnya sama semua. Dan semakin banyak kita memakai persegi panjang, semakin teliti hitungan kita.

Sebagai contoh begini, misalnya rumus fungsi lengkungannya adalah y = 1 – x² antara x = 0.5 dan x = 1, dengan jumlah segi empat sebanyak n = 5, dengan metode persegi panjang ini, caranya membagi daerah antara 0.5 dan 1 sebanyak 5. Jadi masing-masing lebarnya (1 – 0.5) / 5 = 0.5 / 5 = 0.1. Masing-masing dipisah dari 0.5 awal sebesar 0.1. Jadinya 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9.

Untuk mencari tingginya, harus dihitung per segi empat

Segi empat pertama : y = 1 – (0.5)² = 1 – 0.25 = 0.75; Luasnya = 0.75 x 0.1 = 0.075

Segi empat kedua: y = 1 – (0.6)² = 1 – 0.36 = 0.64; Luasnya = 0.64 x 0.1 = 0.064

Segi empat ketiga: y = 1 – (0.7)² = 1 – 0.49 = 0.51; Luasnya = 0.51 x 0.1 = 0.051

Segi empat keempat: y = 1 – (0.8)² = 1 – 0.64 = 0.36; Luasnya = 0.36 x 0.1 = 0.036

Segi empat kelima: y = 1 – (0.9)² = 1 – 0.81 = 0.19; Luasnya = 0.19 x 0.1 = 0.019

Luas total = 0.075+ 0.064+ 0.051+ 0.036+ 0.019 = 0.245

Ribet banget kan? Padahal ini baru pendekatan loh. Masih ada celah kecil antara garis lengkung dengan segi empatnya.

Terus supaya bagian kosong antara garis lengkung dan segi empat itu terhitung juga, saat itu insinyur memakai segitiga untuk mengisinya. Jadi bukan luas segiempat, tapi luas trapesium. Ini tambah ribet.

Dan muncullah Newton dan Leibniz sebagai pahlawan. Pakai Integral, katanya. Coba lihat gambar ini.

Daerah di bawah kurva ini luasnya tepat sama dengan integral fungsi antara titik a dan titik b. Inilah awal dari Integral Tentu :

Nah, kalau sudah seperti ini. Nilai C dalam Integral Tak Tentu, sudah tidak diperlukan lagi.

Cara mencarinya tinggal mencari integralnya, kemudian masukkan nilai b kedalam integral. Kemudian masukkan nilai a ke dalam integral. Terakhir, kurangkan hasilnya.

Kita lihat contoh aja biar paham:

Contoh 1 :

Gampang kan? Contoh kedua: lihat gambar

Kalau lebar dasar lengkungan adalah 2 meter dan tingginya 3 meter, coba kamu cari rumus fungsinya, kemudian luasnya memakai integral.

Nah, ini gambar parabola. Rumus umum parabola adalah y = ax² + bx + c

Puncak para bola kita adalah (1,3). Karena ia ada  di tengah. Di tengah-tengah 2 meter, ya 1 meter. Tingginya sendiri adalah 3 meter. Jadi, ya (1,3)

Masukkan ke rumus : 3 = a.1² + b.1 + c = a + b + c

Kalau di paling kiri, dimana x = 0, tingginya juga gak ada, artinya y = 0. Masukkan lagi (0,0) ke rumus : 0 = a.0² + b.0 + c = c

Jadi c = 0. Otomatis rumus yang kita hitung pertama jadi lebih sederhana

3 = a + b + 0

3 = a + b

-b = a – 3

b =3 – a

Kemudian di paling kanan, x = 2 meter, tingginya gak ada, jadi titiknya (2,0). Masukkan lagi ke rumus : 0 = a.2² + b.2 = 4a + 2b

0 = 4a + 2b

-2b = 4a

kembali ke persamaan kedua, yaitu b = 3 – a

-2(3 – a) = 4a

-6 + 2a = 4a

-6 = 4a – 2a

-6 = 2a

a = -6/2

a = -3

kita peroleh, b = 3 – a = 3 – (-3) = 3 + 3 = 6

Ketemu. Jadi a = -3, b = 6 dan c = 0. Masukkan ke persamaan umum

y = ax² + bx + c

y = -3.x² + 6x + 0

y = -3x² + 6x

ya udah. Ini rumus fungsinya. Cari luasnya dari titik paling kiri, x = 0 dan paling kanan, x=2.

Jadi luas daerah dibawah garis lengkung tersebut adalah 4 meter persegi.

Contoh lagi, contoh 3.

Cari luas daerah dibawah kurva y = x² + 1 antara x = 0 dan x = 4 dibatasi sumbu x.

     Jawabannya :      cari aja buat latihan. He...he...he..........

 

Menentukan Persamaan Kurva Dari Fungsi Kuadrat

1. Untuk menentukan persamaan kurva jika grafik fungsi kuadratnya diketahui dapat dilakukan dengan cara berikut :

• Menentukan Persamaaan kurva jika diketahui titik baliknya (x p ,y p ) gunakan Rumus : y = a (x-x p ) 2 + y p
2. Contoh Soal :
• Tentukan persamaan parabola jika grafiknya mempunyai koordinat titik balik (1,4) dan melalui titik (0,3)
3. Penyelesaian: Karena titik baliknya 1,4 sehingga x p = 1 dan y p = 4, persamaan kurva : y = a ( x – x p ) 2 + y p y = a (x-1) 2 + 4…………………………Pers. I
4. Kurva melalui titik 0,3 berarti titik tersebut memenuhi persamaan I y = a (x - 1) 2 + 4 3 = a (0 - 1) 2 + 4 3 - 4 = a a = -1
5. jadi, persamaan parabolanya adalah y = -1 (x – 1) 2 + 4 y = -1 (x 2 - 2x - 1) + 4 y = -x 2 + 2x + 3
6. b. Menentukan persamaan kurva jika diketahui titik potongnya dengan sumbu x y= a (x - p 1 ) (x - p 2 )
7. Contoh Soal :
• Tentukan persamaan parabola jika grafiknya memotong sumbu x pada titik (-3,0) dan (1,0) melalui titik (-2,-6)
8. Penyelesaian: Maka p 1 = -3 , p 2 = 1 Persamaan kurva : y = a ( x - p 1 ) ( x - p 2 ) y = a [ x - (-3 ) ] ( x – 1 ) y = a ( x + 3 )( x – 1 )……………… 1
9. Karena melalui titik (-2,-6) y = a ( x + 3 )( x – 1 ) -6 = a (-2 + 3 )( -2 - 1 ) a = 2
10. jadi, persamaan parabolanya adalah y = a ( x + 3 )( x – 1 ) y = 2 ( x + 3 )( x – 1 ) y = 2 ( x 2 + 2x – 3 ) y = 2 ( x 2 + 2x – 3 ) y = 2x 2 - 4x - 6
11. c. Menentukan persamaan kurva dari sebuah fungsi kuadrat jika diketahui tiga titik yg dilalui parabola dengan mengunakan metode eliminasi dan subsitusi
12. Contoh Soal

Tentukan persamaan

• parabola,jika grafiknya
• melalui titik (0,2) ; (2,4) ; (3,8)
13. Penyelesaian : Persamaan parabola y = ax 2 + bx+ c melalui tiga titik. Grafik melalui titik (0,2) 2 = a .0 2 + b.0 + c 2 = c………………………….. (I)
14. Grafik melalui titk (2,4) 4 = a . 2 2 + b.2 + c 4 = 4a + 2b + c………… (II) Grafik melalui titik (3,8) 8 = a . 3 2 + b .3 + c 8 = 9a + 3b +c…………. (III)
15. Dari persamaan (I),(II),(III) ditentukan nilai a, b, dan c sebagai berikut: (II) 4a+2b+4 | X 3 | 12a + 6b + 3c =12 (III) 9a+3b+c=8 | X 2 | 18a + 6b + 2c = 16 - 6a + 0 +c = - 4 -6 + c = - 4
16. menurut pers.( I) , c = 2, maka -6a + c = - 4 -6a + 2 = -4 -6a = -6 a =1
17. Subtitusikan nilai a = 1 dan c = 2 ke persamaan II 4a + 2b + c = 4 4.1+ 2b + 2 = 4 2b = 4 - 6 2b = -2 b = -1 Jadi, persamaan parabolanya adalah y = x 2 - x + 2

Referensi

1. M. Bourne, 2010. Area Under Curve